리아 뿌 노브 함수에 의해 생성 된 거래 전략

Lyapunov 함수에 의해 생성 된 거래 전략.
추상.
거의 20 년 전에 E. R. Fernholz에 의해 시작된 기능 포트폴리오 생성은 통제 된 행동으로 거래 전략을 수립하기위한 방법론입니다. 이 모델은 근본적인 시장 모델의 공분산 구조에 대한 매우 약하고 설명적인 가정에 기반하며 모델 매개 변수에 대한 추정이 필요하지 않습니다. 이 논문에서, 해당 생성 함수 $ G $는 시장 가중치의 벡터 프로세스 $ \ mu (\ cdot) $에 대한 Lyapunov 함수로 해석된다. 즉, $ G (\ mu (\ cdot)) $가 적절한 측정 값 변경에 따른 수퍼 마 팅가 리인 속성을 통해. 이 관점은 몇 가지 기존 결과를 통일하고, 일반화하고, 단순화하며, 적절한 시간 범위 이상으로 시장 포트폴리오를 능가 할 수있는 조건을 수립하는 것을 허용합니다. 확률 적 관점에서 볼 때, 본 논문은 확률 적 할인 요인과 컴팩트 영역에서의 세미 마샬 링의 오목 변형의 상호 작용에 관한 결과를 산출한다.
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Lyapunov 함수에 의해 생성 된 거래 전략.
Ioannis Karatzas와 Johannes Ruf.
개요 : 약 20 년 전에 E. R. Fernholz에 의해 시작된 기능 포트폴리오 생성은 통제 된 행동으로 거래 전략을 수립하기위한 방법론입니다. 이 모델은 근본적인 시장 모델의 공분산 구조에 대한 매우 약하고 설명적인 가정에 기반하며 모델 매개 변수에 대한 추정이 필요하지 않습니다. 이 논문에서, 해당 생성 함수 $ G $는 시장 가중치의 벡터 프로세스 $ \ mu (\ cdot) $에 대한 Lyapunov 함수로 해석된다. 즉, $ G (\ mu (\ cdot)) $가 적절한 측정 값 변경에 따른 수퍼 마 팅가 리인 속성을 통해. 이 관점은 몇 가지 기존 결과를 통일하고, 일반화하고, 단순화하며, 적절한 시간 범위 이상으로 시장 포트폴리오를 능가 할 수있는 조건을 수립합니다. 확률 적 관점에서 볼 때, 본 논문은 확률 적 할인 요인과 컴팩트 영역에서의 세미 마샬 링의 오목 변형의 상호 작용에 관한 결과를 산출한다.
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리아 뿌 노프 함수에 의해 생성 된 거래 전략
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ICERM은 Princeton University의 Dmitri Tymoczko가 출연 한 "Musical Geometry, Games, and Multimedia Art"공개 강연을위한 풀 하우스를 운영했습니다.
Simons Foundation은 ICERM의 Brendan Hassett이지도 할 산술 기하학, 수 이론 및 계산에 대한 Simons Collaboration을 설립했습니다.
ICERM은 최근에 $ 50,000의 선물을 제공 한 Microsoft Research에 감사드립니다.
SummerICERM 학부 연구원은 미터법 공간의 기하학에 대해 배웁니다.
ICERM은 학부생을위한 연구 경험 (REUF) 여름 워크샵을 개최하게 된 것을 기쁘게 생각합니다.
2017 년 봄 학기의 "비 압축성 유체에서의 특이점 및 파동"학기 프로그램 주최자에게 감사드립니다.
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2017 년 12 월 12 일 화요일
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매년 ICERM은 8 주간의 학부 연구 프로그램 인 SummerICERM을 운영합니다. 우리 프로그램은 약 2 ~ 3 명의 그룹으로 일하는 약 15-20 명의 학부생을 포함하며, 교수 고문이 감독하고 보조 교사가 보조를받습니다. 미국 내 여행 및 숙박 비용이 지불되며 모든 참가자에게는 3,000 달러의 급여가 지급됩니다 (브라운 학생은 일반적으로 SI 급여 대신 UTRA 보조금을 수령합니다). 학부 연구 프로그램에 대한 제안은 경쟁적으로 선택되며, 학부생은 참가 신청을해야합니다. 여름 2018 프로그램에 대한 세부 정보를 봅니다.
ICERM은 학기 중 하나의 프로그램에 참여하기 위해 ICERM에서 6 주에서 1 학기를 보내고 자하는 대학원생의 신청서를 환영합니다. ICERM은 작업 공간, 공유 컴퓨터 및 사물함을 제공합니다. ICERM은 학원 및 현지 숙박 시설 여행을 지원합니다. 방문 대학원생의 연구 관심은 학기 프로그램과 관련이 있어야합니다. 신청서는 학기말이 끝날 때까지 언제든지 제출할 수 있으며 기금과 공간이 남아있는 한 고려됩니다.
워크숍 참석 신청에 관심이 있다면, 귀하의 고문이 지원서를 제출하도록 요청해야합니다. ICERM 워크숍에서 포스터를 제출 한 대학원생은 일반적으로 현지 숙박을위한 기금을 수여합니다.
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박사후 연구원 연구원 : 연구원은 월급과 급여가 포함 된 두 학년도 박사후 연구비를 지원합니다. 각 연구소 Postdoc은 해당 학년도에 계획된 학기 프로그램 중 하나에 연구 참여자이며 연구원 거주자 인 대체 학기 중에 연구소에 남아 있습니다. 2018-2019 직책에 대한 신청은 Mathjobs. org에서 가능합니다. 박사후 연구원 휄로우 :이 박사후 연구원은 특정 프로그램과 관련이 있으며, 매 학기 월급 및 혜택으로 해당 학기의 거주자입니다. 2018-2019 직책에 대한 신청은 Mathjobs. org에서 가능합니다. 박사후 과정 방문자 : 본국 기관의 지원을받는 박사후 연구원은 여행 및 / 또는 숙박 지원을 신청하여 ICERM 학기 프로그램에 참여할 수 있습니다. 신청하려면 ICERM의 "Cube"시스템으로 가십시오.
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Lyapunov 함수에 의해 생성 된 거래 전략
Ioannis Karatzas Johannes Ruf 저자.
약 20 년 전에 E. R. Fernholz에 의해 시작된 기능 포트폴리오 생성은 통제 된 행동으로 거래 전략을 수립하기위한 방법론입니다. 이것은 기초가되는 시장의 공분산 구조에 대한 매우 약하고 설명적인 가정에 기초하며 모델 매개 변수에 대한 평가가 필요하지 않습니다. 이 논문에서, 대응하는 생성 함수 \ (G \)는 상대 시장 가중치의 벡터 프로세스 \ (\ mu \)에 대한 리아 뿌 노브 함수로 해석된다. 즉, 프로세스 \ (G (\ mu) \)가 적절한 측정 변경에 따라 수퍼 마 팅 게일 인 속성을 통해. 이 관점은 많은 기존 결과를 통일하고, 일반화하고, 단순화하며, 적절한 시간 범위에 걸쳐 시장 포트폴리오를 능가 할 수있는 조건을 수립 할 수있게 해줍니다. 확률 론적 관점에서 볼 때, 여기서 제공되는 접근법은 확률 론적 할인 요인과 컴팩트 영역에서의 세미 마샬 링의 오목 변형의 상호 작용에 관한 결과를 산출합니다.
그의 75 번째 생일에 Dr. E. Robert Fernholz에게 바쳐졌습니다.
수학 과목 분류 (2010)
JEL 분류.
1. 소개.
거의 20 년 전에 E. R. Fernholz [8]는 주목할 만하고 눈에 띄게 설립하기 쉬운 포트폴리오 구성을 도입했습니다. 그는 소위 "기능적으로 생성 된"포트폴리오의 특정 클래스에 대해, 개인의 관점에서 총 시가 총액을 기준으로 할인 된 (즉, 표시되는) 포트폴리오를 표현할 수 있음을 보여주었습니다 기업의 시장 가중치 - 와 확률 적 통합을 포함하지 않는 경로 방식으로 그렇게하는 것입니다. 이 사실은 이토 규칙의 다소 결정적인 적용에 의해 증명 될 수 있습니다. 일단 결과가 알려지면, 그 증명은 확률 론적 계산에서 온건 한 운동이됩니다.
이 발견은 시장 포트폴리오를 능가하는 것이 엄격하게 가능한 하나 이상의 주식, 일반적으로 수천 가지를 포함하는 대규모 주식 시장에서 간단하고 매우 일반적인 구조 조건을 찾는 길을 열었습니다. 시장 포트폴리오와 관련하여 강력한 차익 거래가 가능할 수있는 조건, 적어도 충분히 긴 시간 범위에 대해 조금 다르게 이야기하십시오. Fernholz [7, 8, 9]는 관측 가능한 양에 대해서만 그리고 추정이나 최적화를 필요로하지 않고 포트폴리오를 사용하여이 강력한 상대 차익 거래 또는 "초과 수익률"을 구현하는 방법을 보여주었습니다. Pal and Wong [21]은 이산 시간에 최적의 수송에 관련된 기능적 생성; 및 Schied 등. [27]는 pathwise functional stochastic calculus를 기반으로 path-dependent 버전의 이론을 개발했다.
Fernholz의 건축은 지난 15 년 동안 다소 신비스럽게 여겨졌습니다. 이 신문에서 우리는 결과를 좀 더 기념하고 약간 덜 신비하게 만들 수 있기를 희망합니다. 상대 시장 가중치의 벡터 프로세스 \ (\ mu \)에 대한 Lyapunov 함수로서 포트폴리오 생성 함수 \ (G \)의 해석. 즉, \ (G (\ mu) \)가 적절한 조치 변화에 따른 수퍼 마 팅가 리인 속성을 통해; 정교화를위한 비고 3.4 참조. 우리는이 기능 세대를 포트폴리오에서 단기 매도와 모든 시장 가중의 일부가 사라질 수있는 상황에 이르는 거래 전략으로 일반화합니다. 길을 따라, 근본적인 주장을 상당히 단순화합니다. 우리는 전략의 "additive functional generation"이라는 새로운 개념을 소개하고 [7, 8, 9]의 "multiplicative"세대와 비교한다. 우리는 [7, 문제 4.2.3]의 낡은 질문에 대답하고, [21] 또한 이산 시간으로 봅니다. 적절한 차용 기간에 걸친 시장에 대한 강한 상대 차익 거래 조건은 이러한 차익 거래를 수행하는 전략과 이러한 결과를 수립하는 수반되는 증명처럼이 해석을 통해 극도로 간단해진다. 정리 5.1과 5.2를 보라.
우리는 모든 결과를 시장 가중치에 대한 연속적인 세미 마킹의 프레임 워크로 캐스팅했습니다. 이것은 우리에게 일반성과 다른 것에 대한 간결성 및 가독성 사이의 아주 좋은 절충안 인 것처럼 보인다. 독자는 결과 중 어느 것이 일반적인 세미 마네킹으로 확장 될 수 있는지를 쉽게 결정할 수 있습니다.
다음은이 논문의 개요입니다. 2 장에서는 시장 모형을 제시하고 거래 전략, 상대 차익 거래 및 디플레이터의 재무 개념을 회상한다. 3 절에서는 정규 및 Lyapunov 함수에 대한 개념을 소개합니다. 4 절에서는 이러한 함수들이 어떻게 "부가 적으로"와 "곱셈 적으로"거래 전략을 생성 하는지를 논의한다. 및 분파 5는 이러한 관찰을 사용하여 시장에 대한 상대적 차익 거래의 존재를 보장하는 조건을 충분히 긴 시간 범위에 걸쳐 공식화합니다. 6 절에는 정규 및 Lyapunov 함수에 대한 몇 가지 관련 예제 및 해당 생성 된 전략이 들어 있습니다. 7 절에서는 특정 추가 가정을 만족하는 오목 함수가 실제로 Lyapunov임을 입증하고 추가 가정이 충족되지 않는 경우 반례를 제공합니다. 마지막으로, Sect. 8 결론.
2 설정.
2.1 시장 모델.
\ (\ mathscr (0))을 만족하는 우연한 연속 여과 (\ mathfrak = (\ mathscr (t)) \ \)가 부여 된 주어진 확률 공간 \ ((\ varOmega, \ mathscr, \ mathbb) \) = \ \) mod. 우리는 \ (S_ (0) & gt; 0, \ dots, S_ (0) & gt; 0 \)과 연속적인 비 음수 세미마 넌 셜의 벡터 프로세스 \ (=, \ dots, S_)
\ t \ geq0] = 1 $$ \ mathbb [\ varSigma (t) & gt; 0, \, \, \ forall \, \, t \ geq0]
2.2 거래 전략.
정의 2.1.
다음의 결과는 이토 규칙의 다소 결정된 적용을 통해 입증 될 수 있습니다. 그것은 거래 전략의 개념이 가격이나 자본화가 인용되는 방식에 의존해서는 안된다는 직관적 인 생각을 공식화합니다. 우리는 증명을 위해 [12, 명제 1] 또는 [14, 보조 정리 2.9]를 참조한다.
命 令 2.2.
명제 2.3.
2.3 시장에 대한 상대적인 차익 거래.
2.4 디플레이터.
명제 2.5.
비고 2.6.
디플레이터가 존재하고 마틴 게일 인 경우 \ (T> 0 \)에 대해 \ (\ mathscb (A))를 통해 \ (\ mathscr (T) \) = \ mathbb ^> [Z (T) \ mathbf _] \), \ (A \ in \ mathscr (T) \). 이 측정법에 따라, 시장 가중치는 (i = 1, \ dots, d \)는 지역 마팅가이고, 따라서 실제 마팅가는 [0,1]에서 값을 취한다.
3 Semimartingales를위한 정규 및 Lyapunov 기능.
\ mathbb [X (t) \ in \ mathfrak, \, \, \ forall \, \, t \ geq0] = 1 $$
정의 3.1.
정의 3.2.
정의 3.3.
정의 3.1에서와 같이 정규 함수 \ (G \)는 \ (d \) 차원 세미 마샬링 \ - (3.2)의 변이 과정 \ (\ varGamma ^ \)은 실제로 줄어들지 않습니다.
예를 들어, \ (G \)가 정의 3.3에서와 같은 Lyapunov 함수이고, (3.1)에서의 \ (\) 프로세스가 \ (\ \ \ \ vartheta_ (t) \ mathrm X_ (t) \ equiv0 \). (3.3)의 과정 \ (G (X) = G (X (0)) - \ varGamma ^ \)은 증가하지 않기 때문에 \ (G \)는 " 고아한 "감각.
(3.2)의 프로세스 \ (\ varGamma ^ \)는 \ (DG \)의 선택에 달려 있습니다. 예를 들어, \ (\ mu \)의 각 구성 요소가 유한 한 첫 번째 변형이지만 일정하지 않은 상황을 고려해보십시오. \ (DG \)의 다른 선택이 \ (X = \ mu \)에 대해 (3.2)의 다른 프로세스 \ (\ varGamma ^ \)로 이어지는 것을 쉽게 볼 수 있습니다. 그러나, \ (\ mu \)에 대한 디플레이터가 존재한다면, 우리는 다음과 같은 유일성 결과를 갖는다.
법안 3.5.
시장 가중치의 벡터 프로세스 \ (\ mu \, \ dots, \ mu_)> ^ \)에 대해 \ (G : \ mathrm (\ mu) \ rightarrow \ mathbb \) 함수가 규칙적이면 \ (\ mu \)가 존재한다면, (3.2)의 연속적이고 적응 된 유한 변이 과정 \ (\ varGamma ^ \)은 \ (DG \)의 선택에 의존하지 않는다.
시장 가중치 벡터 프로세스 \ (\ mu \)에 대한 디플레이터 \ (Z \)와 \ (X \)의 정의 3.1에서와 같이 두 가지 함수 \ (DG \), \ (\ widetilde \ (3.2)에서 \ (\), \ (\ varGamma \ \), \ (\ widetilde \ \)에 해당 프로세스 \ (\), \ (\ widetilde \ \ (Z \)는 연속적이라고 가정 할 수있다. \ (\ varUpsilon : = \ int_ ^ \ sum_ ^ _ ()) 표기법을 사용하여 \ (\ varGamma ^ \ \ widetilde \ \) 또는 이와 동등한 \ (\ varUpsilon \ equiv 0 \)을 구분할 수 없도록 표시해야합니다. t) \, \ mathrm \ mu _ (t) \)와 \ (: = - \ widetilde> \)가있다.
3.1 정규 또는 Lyapunov 인 기능을위한 충분한 조건.
예제 3.6.
\ mathbb [\ mu (t) \ in \ mathcal, \, \, \ forall \, \, t \ geq0] = 1. $$
조금 더 일반적으로 다음과 같은 결과가 있습니다.
정리 3.7.
(2.3)의 집합 \ (\ varDelta ^ \)에서 연속적이고 오목한 함수로 확장 될 수 있으며, 벡터 처리를위한 디플레이터가 존재한다. \ (\ mu =, \ dots, \ mu)).
우리는 교단을 언급한다. 볼록성에 대한 몇 가지 기본 개념과 정리 3.7의 증명을위한 7 장. 아래 예제 7.3에서 볼 수 있듯이, 정리 3.7 (iii) (즉, 시장 가중치 과정 (\ mu \)이 "경계선에 부딪치게 될 때마다")의 충분성에는 수축기의 존재가 필수적이다.
3.2 순위 기반 정규 및 Lyapunov 함수.
정리 3.8.
\ (\ boldsymbol \)은 (3.6)의 \ (^ _ \) 집합에서 연속적인 오목한 함수로 확장 될 수 있습니다.
우리는 다시 Sect를 참조한다. 정리 3.8의 증명을 위해 7. Example 7.3의 간단한 수정은 \ (\ boldsymbol \) 함수가 \ (\)에 대해 규칙적이지 않고 \ (\ mathbb \ \)에 오목하고 연속적 일 수 있음을 보여줍니다. 사실, 예제 7.4에서 볼 수 있듯이 \ (\ mu \)에 대한 디플레이터가 존재하는 경우에도 이런 현상이 발생할 수 있습니다.
Example 3.9.
예 3.6은 순위 기반 사건에 대한 등가 공식을 갖는다. 다시 \ (\ boldsymbol : \ mathrm (\ boldsymbol) \ rightarrow \ mathbb \) 함수를 \ (\ mathcal \ subset \ mathbb \ \)에있는 두 번 연속 차분 할 수있는 함수로 확장 할 수 있다고 가정합니다. mathbb [\ boldsymbol (t) \ in \ mathcal, \ forall t \ geq0] = 1 \). 그런 다음 \ (\ boldsymbol \)은 \ (\ boldsymbol \)에 대해 규칙적입니다. 실제로 예 3.6에서와 같이 Ito의 공식을 적용하면 결과가 산출됩니다.
Example 3.10.
\ (\ boldsymbol (x) : = x_ \)에 의해 정의 된 \ (\ boldsymbol : \ mathbb \ \를 [0,1] \으로) 함수를 생각해 보자. 이 \ (\ boldsymbol \)은 두 번 연속적으로 분화 가능하고 오목하다. 특히 Example 3.6과 같이 \ (\ boldsymbol \)은 (3.9)의 \ (\ boldsymbol \) 프로세스에 대한 Lyapunov 함수입니다.
4 기능적으로 생성 된 거래 전략.
이 절에서는 무역 전략의 부가 적 기능 생성에 대한 새로운 개념을 소개하고 그 특성을 연구한다. 표기법을 단순화하고 문맥에서 명백 할 때 \ (V ^ \) (각각, \ (Q ^ \))에 다음과 같이 쓰고 값 process \ (V ^ (\ cdot; \ mu ) \에 대한 (2.6)의 자기 재 융자 성 과정 \ (Q ^ (\ cdot; \ mu) \)의 결점. 명제 2.2는 거래 전략의 "상대 값"으로 \ (V ^ = V ^ (\ cdot; \ mu) = V ^ (\ cdot; S) / \ varSigma \ \ mathscr (S) \)를 시장 포트폴리오와 관련하여 설명합니다.
4.1 첨가제 생성.
정의 4.1.
(4.1)의 거래 전략 \ (= (_, \ ldots, _) '\ in \ mathscr (\ mu) \)은 정규 함수 \ (G : \ mathrm rightarrow \ mathbb \).
두 가지 다른 거래 전략 \ (\ neq \ widetilde \)이있을 수 있습니다. 둘 다 동일한 일반 함수 \ (G \)에 의해 추가로 생성됩니다. 정의 3.1의 함수 \ (DG \)가 고유 할 필요는 없기 때문입니다. 그러나 \ (\ mu \)에 대한 수축 기가 존재한다면, \ (\ varGamma ^ \) 과정은 명제 3.5에 의해 구별 할 수 없도록 독특하게 결정되며, 아래의 (4.3)은 \ (V ^> = \).
명제 4.3.
비고 4.4.
어떤 주어진 시간 \ (t & gt; 0 \)에 (4.5)에서 거래 전략 \ (\ varphi \)을 구현하기 위해 \ (t \) 시간까지 실행되었다고 가정하자. 각 \ (i = 1, \ dots, d \)에 대해 \ (D_G (\ mu (t)) \)를 계산하고 \ \ (i \) 번째 자산의 주식. 모든 재산이 이렇게 투자되지 않는다면, 즉 양이 양수이면 양은 각 자산의 주식을 정확히 구매하여 정확히 \ (\ sum \ ^ w (t) \ mu_ (t) = w (t) \). \ (w (t) \)가 음수라면, 그것들을 사는 대신에 \ (| w (t) | \) 공유를 판매합니다. 따라서, 기능적으로 생성 된 전략의 구현은 임의의 확률 적분의 계산을 요구하지 않는다.
\ (G \) 함수가 음수가 아니고 오목한 경우 다음 결과는 \ (D_G (\ mu (t)) \)가 일부 음수 일 경우에도 생성하는 전략이 각 자산의 음수가 아닌 값을 유지함을 보장합니다. (i = 1, \ dots, d \).
명제 4.5.
정리 3.7의 세 가지 조건 중 하나가 연속 함수 \ G (\ mu \ rightarrow [0, \ infty) \]에 대해 유지된다고 가정합니다. 그러면 \ (G \)에 의해 부가 적으로 생성 된 거래 전략 \ (\)이 존재하는데, 이것은 "long - only"입니다. 즉, \ (i = 1, \ dots, d \)마다 \ (_ \ ge0 \)을 만족해야합니다.
법안 4.5의 증명은 볼록한 분석을 필요로하며 Sect. 7.1.
4.2 곱셈 생성.
정의 4.7.
(4.10), (4.9)의 거래 전략 \ (= (_, \ dots, _) '\ in \ mathscr (\ mu) \)은 함수 \ (G : \ mathrm \ 뮤) \ rightarrow [0, \ infty) \).
법안 4.3에는 다음과 같은 내용이 있습니다.
命 令 4.8.
\ (V ^ \)가 엄격하게 양의 값을 가지기 때문에 (4.8)의 포트폴리오 프로세스 \ (\)가 (4.6)와 같은 방식으로 (4.12)에서 얻어지는 방법을 쉽게 볼 수 있습니다. (4.11)의 표현은 [7]의 정리 3.1.5의 정신에서 일반화 된 마스터 방정식이다. 그것과 첨가물 버전 (4.3)은 확률 론적 통합을 전혀 포함하지 않는 현저한 특성을 가지고있다.
4.3 첨가물과 곱셈 적 기능 세대의 비교.
이 시점에서 가산 및 곱셈 기능 생성을 비교하는 것이 좋습니다. 순전히 공식적인 차원에서 정의 4.7의 곱셈 생성은 \ (1 / G (\ mu) \)가 국부적으로 경계 지워지는 특성을 가진 정규 함수 \ (G \)를 필요로한다. 반면, 부가 적 기능 생성은 \ (G \) 함수의 규칙 성만을 필요로합니다.
시간 \ (t = 0 \)에서, 부가 적으로 생성 된 전략은 곱셈 적으로 생성 된 전략과 일치한다; 즉, (4.5)와 (4.12) 표기법에 \ (\ varphi (0) = \ psi (0) \)이 있습니다. 그러나 언제든지 \ (t & gt; 0 \)를 \ (\ varGamma ^ (t) \ neq0 \)와 함께 사용하면이 두 가지 전략이 다릅니다. 이것은 해당 포트폴리오 (4.7)와 (4.8)을 보면 가장 쉽게 볼 수 있습니다. 보다 정확하게, 두 가지 전략은 유한 편차 "누적 수입"프로세스 \ (\ varGamma ^ \)에 의해 포착 된 부의 비율을 할당하는 방식이 다릅니다. 부가 적으로 생성 된 전략은 시장의 모든 자산에 대해이 비율을 균등하게 할당하는 반면, 곱셈 적으로 생성 된 전략은 자산 보유를 비례 적으로 조정하여이 금액을 수정하는 경향이 있습니다.
파급 효과 : 두 가지 전략에서 위의 차이는 두 가지 관찰을 유도합니다.
첫째, "소 자본화 주식 (small-capitalization stocks)"과 같이 시장의 하위 집합에만 시간을 통해 투자하는 무역 전략에 관심이 있다면, 함수에 의해 곱셈 적으로 생성 된 전략은 (G \) 모든 \ (x \ in \ varDelta ^ \)의 "balance"속성 \ (\ sum_ ^ x_ D_G (x) = G (x) \)을 만족하는 것이 적절합니다. 반면에, 전체 시장의 비율로 거래 전략의 수입을 투자하고 싶다면, 첨가제 생성이 더 적합하다. 이것은 예 6.2와 6.3에 의해 더 설명된다.
포트폴리오 비교 : (4.7)과 (4.8)의 두 포트폴리오를보다 자세히 비교합시다. 이 포트폴리오는 오른쪽에있는 괄호 안의 분모에서만 다릅니다.
주어진 시간에 \ (t \ geq0 \)의 (4.8) 니즈의 양을 계산할 때, 그 당시 널리 퍼져있는 시장 가중치 \ (\ mu_ (t), \ dots, \ mu_ (t) \) - 그리고 아무것도. 이와는 대조적으로 현재 시장의 가중치 인 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\> 포트폴리오에 의해 생성 된 부의 예를 들어 (3.5)의 Lebesgue-Stieltjes 적분을 통해 \ ([0, t] \) 간격 동안 시장 가중치의 전체 이력으로부터이 값을 계산합니다. 이것은 (4.7), (4.8)의 포트폴리오가 (4.5), (4.12)에서와 같이 거래 전략으로 표현되는 경우에도 해당된다.
5 상대적 차익 거래에 대한 충분한 조건.
우리는 지금까지 Sect와 같이 시장을 능가 할 가능성에 대한 충분한 조건을 제시하기 위해 필요한 기계류를 개발했습니다. 2.3 - 적어도 충분히 긴 시간 범위.
이 섹션에서 \ (G : \ mathrm (\ mu) \ rightarrow [0, \ infty) \]는 음수가 아닌 함수이고 시장 가중치 프로세스는 \ (\ mu \), \ (G (\ mu (0)) = 1 \). 이 정규화는 기능적으로 생성 된 전략의 초기 부를 (2.10)에서 요구하는대로 1 달러로 시작하도록 보장합니다. (4.3)과 (4.11)을 보라. 이러한 정규화는 \ (G \\ (0)) = 0 \) 또는 \ (G / G (\ mu (0) \) )) \) 일 경우 \ (G (\ mu (0)) & gt; 0 \).
정리 5.1.
우리는 비고 2.4의 관찰을 기억하고 (4.3)은 \ (V ^> (0) = 1 \), \ (V ^> (\ cdot) \ geq0 \) 및 \ (V ^> (T) 모든 \ (T \ geq T_ \)에 대해 = G (\ mu (T)) + \ varGamma ^ (T) \ ge \ varGamma ^ (T_) & gt; □
다음의 결과는 정리 5.1을 보완한다.
정리 5.2.
$$ \ mathbb [\ varGamma ^ (T_) & gt; 1 + \ varepsilon] = 1. $$
\ (G \)가 Lyapunov 함수이면, \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (T)> 1 + \ varepsilon] = 1 \)과 (5.2)의 부등식은 모든 \ T_ \), 위와 같은 추론이 다시 한번 작동합니다. □
5.1 엔트로피 및 이차 함수.
우리는 정리 5.1과 5.2를 두 가지 예제로 설명합니다.
Example 5.3.
각 \ (i = 1, \ dots, d \)에 대해 \ (\ lang \ mu_ \ rangle (\ mathscr) = 0 \) 이벤트가 \ (\ \ deflator의 존재는 모든 \ (0 \ le t \ le \ mathscr \)에 대해 \ (\ mu \ (t) \ \ mu \ infty] = 0 \).
$$ \ mathbb \ big [\ varGamma ^ (T) & gt; (big) = 1 \ qquad \ text \ qquad \ mathbb \ big [\ varGamma ^ (T) & gt; H \ big (\ mu (0) \ big) + \ varepsilon \ big] = 1, $$
예를 들어, 어떤 실제 상수 \ (\ eta & gt; 0 \)에 대해 \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \ (T & gt; H (\ mu (0)) / \ η \)로 시장에 존재할 때, 부가 적으로 생성 된 전략 \ (\ varphi \)은이 모든 시간 범위에 대해 동일하지만, 곱셈 적으로 생성 된 전략 \ (\ psi ^ \)에는 상수 \ c \ c (c = c)의 "오프라인"계산이 필요하다는 점에 유의할 가치가 있습니다. (T, \ varepsilon) & gt; 0 \)를 개별적으로 선택한다.
어떤 실재에 대한 \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \)의 타당성 여부와 관련하여 오랫동안 열려있는 문제였다. (0, T) \, 임의의 길이 \ (T \ in (0, T) \)에 대해 시장에 대한 상대적 차익 거래를 구현하는 전략의 존재를 보장 할 수있다. \ infty) \). 이것이 일반적으로 가능하지 않다는 것을 보여주는 명백한 예를 보려면 동반자 논문 [11]을 참조하십시오.
Example 5.5.
$$ \ mathbb \ bigg [\ sum_ ^ \ langle \ mu_ \ rangle (T) & gt; Q ^ \ big (\ mu (0) \ big) + \ varepsilon \ bigg] = 1 $$
예를 들어, \ (\ mathbb [\ sum \] \ lang \ mu_ \ rangle (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \)이면 추가적으로 곱셈 적으로 생성 된 강력한 상대 차수 법 \ ([0, T] \)를 통해 시장에 출시 할 수 있습니다.
6 추가 예제.
이 절에서는 다양한 Lyapunov 함수와 이러한 함수가 생성하는 거래 전략을 보여주는 몇 가지 예제를 수집합니다. Example 5.3 및 5.5의 해당 함수와 달리이 절에서 고려한 정규 함수는 두 번 구분할 수 없습니다. 결과적으로 해당 수입 프로세스는 르 베그 측정과 관련하여 전형적으로 단일 한 구성 요소를 가지며 현지 시간으로 표현됩니다.
Example 6.1.
이제 순위에 따라 거래 전략의 기능적 생성 사례를 제시합니다.
예제 6.2.
이 예와 관련하여 S & amp; P 500에서와 같이 전체 미국 시장과 \ (d = 500> \), \ (m = 500 \)을 생각할 수도 있습니다. 우리가 시장에서 가장 큰 회사에만 투자하는 것에 대해 단호하던 때 \ (m = 1 \)를 고려하십시오. 증가하지 않는 프로세스 (\ varGamma ^> \)는 손실을 통해 매도 할 때마다 높은 자본화 지수에서 벗어나 " 사소한 (자본화) 리그. "
예제 6.3.
\ (\ varGamma ^> \)가 0과 동일하지 않고 추가로 생성 된 전략이 모든 자산에 투자한다는 것과 승수 생성 전략은 \ (dm \) 가장 작은 주식에만 투자한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 .
Example 6.4.
\ (\ boldsymbol \) 함수는 오목한 것으로 가정되므로이 유한 변이 과정은 줄어들지 않습니다. 따라서 \ (G \)는 리아 푸노 프 함수입니다. 정리 5.1은 주어진 주어진 수 \ (T & gt; 0 \)에 대해 강한 상대 차수 재가 존재 함을 보여 주며, \ (\ mathbb [\ varGamma ^> (T)> G ((0))] = 1 \)에 해당하는 시장은 수평선 \ ([0, T] \) 예를 들어, \ (\ boldsymbol \)이 두 번 구별 할 수있는 경우, 우리는 가지고 있습니다.
semimartingales의 7 오목한 변환.
7.1 정리 3.7과 3.8, 그리고 정리 4.5의 증명.
정리 3.7 우리는 세 단계로 진행한다.
식별은 일대일 "투영 연산자"\ (\ mathfrak \)를 기반으로합니다. 즉 매핑 \ (^ _ \ ni (x_, \ dots, x_) \ mapsto (x_, \ dots, x_) \ in \ mathbb ^ \)를 (3.6)으로 표기하십시오. 이 방식으로 \ (^ _ \) 또는 \ (^ _ \)에있는 실수 값 함수 \ (G \)는 \ (G \ = G \ circ \ mathfrak \ _ \) 또는 \ (\ mathbb \ \)에, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. \ (G \ \)가 \ (^ _ \) 또는 \ (\ mathbb ^ \)에 오목한 경우에만 \ (G \)가 \ (^ _ \) 또는 \ )이다.
2 단계 : 조건 (i) 또는 (ii) 중 하나를 부과하는 것으로 시작하겠습니다. 우리는 오목한 함수 \ (G_ = G \ circ \ mathfrak ^ \)가 열린 집합에서 국부적으로 Lipschitz라는 [24]의 [10]에서 [10] ) 또는 \ (\ mathbb ^ \)에 각각 적용됩니다. [6, Remark VII.34 (a)]와 함께 [19]의 정리 VI.8은 이제 \ (G (\ mu) \) 과정이 반 마샬링임을 산출한다.
The proof of Theorem 3.7 shows that every continuous, concave function \(G\) is regular, and the \(\mathit \) in the corresponding Itô formula of ( 3.2 ) may be chosen (at least in the set \(\varDelta ^ _ \) ) to be a measurable supergradient of \(G\) . This observation motivates also the following question.
Assume that a function \(G\) is regular and weakly differentiable with gradient \(\widetilde >\) . Is it then possible to choose \(\mathit = \widetilde >\) in ( 3.1 ) and ( 3.2 ) ?
The answer is, of course, affirmative if the function \(G\) is actually twice continuously differentiable, as in Example 3.6 . It is also affirmative if \(G\) is concave, thanks to [ 3 ].
Concerning a representation of the finite-variation process \(\varGamma^ \) , the proof of Theorem 3.7 does not yield any deep insights (the arguments in [ 3 , 4 , 13 ] yield a representation of \(\varGamma^ \) as a limit of mollified second-order terms). This leads to yet another question as follows.
The representation ( 7.6 ) is also valid in the Russo/Vallois [ 25 , 26 ] framework of stochastic integration and with their interpretation of the brackets \([ _ , \mu_ ] \) , whenever \(G\) is of class \(C^ \) and the continuous semimartingale \(\mu\) is “reversible” in the sense that \(\mu(T-t),\, 0 \le t \le T\) , is a continuous semimartingale in its own filtration for every \(T\in(0, \infty)\) ; see [ 25 , Theorem 2.3].
증명.
of Proposition 4.5 Theorem 3.7 shows that \(G\) is a Lyapunov function; its proof also reveals that \(\mathit \) can be chosen to be a supergradient of \(G\) if (i) or (ii) hold. If neither (i) nor (ii) holds, but (iii) does, we may choose \(\mathit \) to be a supergradient of \(G\) in \(\varDelta ^ _ \) . In that case, for \(x \in \varDelta ^ \setminus \varDelta ^ _ \) and \(i = 1, \dots, d\) , we define \(D_ G(x)\) as follows: if \(x_ \in(0,1)\) , we declare \(D_ G(x)\) to be the corresponding component of the supergradient of a concave function \(\widetilde \) with domain \(\varDelta ^ \) for some \(m< d\) ; and if \(x_ \in\ \) , we declare \(D_ G(x)\) to be the term \(\sum_ \in(0,1)> x_ D_ G(x)\) .
If \(x_ = 1\) , then \(x_ = 0\) for all \(j = 1, \dots, d\) with \(j \neq i\) ; the left-hand side of ( 7.7 ) is then equal to \(G(x)\) , which is nonnegative by assumption.
Finally, we consider the case \(x_ = 0\) . Under condition (i), no argument is required since \(\mu_ > 0\) with probability one. Under condition (ii), the same computations as in ( 7.8 ) and ( 7.9 ) hold. Under condition (iii), we observe again that the the left-hand side of ( 7.7 ) equals \(G(x)\) , by the definition of \(\mathit \) . As above, the nonnegativity of \(G\) yields ( 7.7 ). □
7.2 Two counterexamples.
Example 7.3.
A condition such as the existence of a deflator in Theorem 3.7 (iii) is needed for the result to hold. Even for a one-dimensional semimartingale \(X \) taking values in the unit interval \([0,1]\) and absorbed when it hits one of its endpoints, and with a concave function \(G: [0,1] \to[0,1]\) , the process \(G(X )\) need not be a semimartingale.
To put this example in the context of Theorem 3.7 , just set \(d=2\) , \(\mu_ := X \) and \(\mu_ := 1- \mu_ \) . Then there exists no deflator for the process \(\mu=(\mu_ , \mu_ )\) , and the concave and continuous function \(G(x_ , x_ ) := \sqrt >\) , \((x_ , x_ ) \in \varDelta ^ \) , is not regular for the process \(\mu\) .
Example 7.4.
We now modify Example 7.3 to obtain a setup in which a deflator for the vector process \(\mu \) exists, the function \(\boldsymbol : \mathbb ^ \rightarrow[0,1]\) is continuous and concave, but \(\boldsymbol \) is not regular for \(\boldsymbol = \mathfrak (\mu)\) in the notation of ( 3.7 ) and ( 3.9 ), and neither is \(G = > \circ\mathfrak \) regular for the process \(\mu\) .
To this end, set \(d = 2\) and let \(B \) denote a Brownian motion starting at \(B(0)=1\) , and stopped when hitting 0 or 2. We set \(\mu_ := B /2\) and \(\mu_ := 1-B /2 = 1 - \mu_ \) . Since \(\mu_ \) and \(\mu_ \) are martingales, there exists a deflator for the vector process \(\mu\) ; indeed, \(Z \equiv1\) will serve as one. Next, consider the function \(\boldsymbol (x_ , x_ ) := \sqrt - x_ \,>\) for all \((x_,x_ ) \in\mathbb ^ = \mathrm ( \boldsymbol )\) . Clearly, \(\boldsymbol \) is concave and continuous on \(\mathbb ^ \) . However, by virtue of Lemma 7.5 below, the process \(G( \mu ) = \boldsymbol (\boldsymbol ) = \sqrt \) is not a semimartingale; thus, \(\boldsymbol \) is not regular for \(\boldsymbol \) , and neither is \(G\) regular for \(\mu\) .
Let \(W \) denote a Brownian motion starting in zero and \(\tau\) a strictly positive stopping time . Then the process \(\sqrt \) is not a semimartingale .
Formally at least, the conclusion follows from the results in [ 5 ], since, of course, the function \(f: \mathbb \ni x \mapsto\sqrt \) is not the difference of two convex functions.
Results in a similar vein appear in [ 5 ], especially Theorems 5.8 and 5.9, as well as in [ 20 ].
8 Conclusion.
Introduces an alternative, “additive” approach to the functional generation of trading strategies, and compares it to the “multiplicative” functional generation of E. R. Fernholz. Given a sufficiently large time horizon \(T_ >0\) and suitable conditions on the volatility structure of the market, the multiplicative version yields, for each \(T>T_ \) , a portfolio that strongly outperforms the market on \([0,T]\) ; this portfolio, however, depends on the length \(T\) of the time horizon. By contrast, the additive version yields a single trading strategy which strongly outperforms the market over every horizon \([0,T]\) with \(T \geq T_ \) .
Extends the class of functions that generate trading strategies. This paper introduces the notion of regular function. Such a function can generate a trading strategy. Modulo necessary technical conditions on boundary behavior, concave functions are shown to be regular (in fact Lyapunov, in the sense also introduced in the present work). This weakens the assumption of twice continuous differentiability, normally used in the extant work on this subject, and provides a unified framework for standard and rank-based generation, a long-standing open issue.
Weakens the assumptions on the market model. Functional generation is shown to work in markets where asset prices are continuous semimartingales which may also completely devalue. Moreover, major technical assumptions in rank-based generation are removed; for example, it is not necessary anymore to exclude models for which the set of times at which any two given asset prices are identical has strictly positive Lebesgue measure.
감사 인사.
We are grateful to Robert Fernholz for initiating this line of research and for encouraging us to think about the issues studied here. Many discussions with Kostas Kardaras helped us sharpen our thoughts. We are also deeply indebted to Adrian Banner, René Carmona, Christa Cuchiero, Freddy Delbaen, David Hobson, Tomoyuki Ichiba, Philip Protter, Mathieu Rosenbaum, Walter Schachermayer, Konrad Swanepoel, Kangjia’Nan Xie and Hao Xing for helpful comments, and Alexander Vervuurt and Minghan Yan for their detailed reading and suggestions on successive versions of this paper. We thank the anonymous referees and Associate Editor for their suggestions which improved this paper and we thank Martin Schweizer for his very careful reading and constructive feedback. I. K. acknowledges the support of the National Science Foundation under grant NSF-DMS-14-05210. J. R. acknowledges generous support from the Oxford-Man Institute of Quantitative Finance, University of Oxford.
참조.
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저자 및 제휴사.
Ioannis Karatzas 1 2 Johannes Ruf 3 author 1. Department of Mathematics Columbia University New York USA 2. Intech Investment Management Princeton USA 3. Department of Mathematics London School of Economics and Political Science London UK.
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